Современная математикаСтраница 1
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало "высшей математики". Методы математического анализа, в отличие от понятия предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух "китах" - на числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии выпала Н.И. Лобачевскому (1792-1856) и Я. Бойяи (1802-1860), каждый из которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б. Римана (1826-1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял. Создание А. Эйнштейном (1879-1955) общей теории относительности в 1915 пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи, которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное расширение круга математических исследований в конце прошлого века по существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом базисе.
Преобразования
Петра в военном деле.
В своих “потешных” сёлах Пётр устроил два полка – Преображенский и Семёновский – уже совершенно по иноземному образцу. К 1692 году эти полки были вполне сформированы и обучены. В 1699 году Пётр велел произвести общий рекрутский набор[8] и ...
Крымская конференция
Предложение о встрече в верхах с целью обсуждения проблем, вставших на заключительном этапе войны, сделано Рузвельтом в послании Сталину 19 июля 1944 года.
В 1944 году сильно активизировались тайные контакты высших чинов Германии с предс ...
Характеристика труда бурлаков
С появлением Санкт-Петербурга и систем водных каналов, слобода стала занимать ключевое место в российской торговле, быстро развивалась. По указу Петра I, регулярное движение судов по первой такой системе - Вышневолоцкой - началось с 1722 ...